聚類錯覺

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什麼是聚類錯覺？

聚類錯覺是一種習慣：小樣本裡出現一串或一團，人就把它當成背後另有原因。偶然本身就會產生這些團塊。樣本太短，均勻、充分打散的那幅圖，並不是偶然應有的樣子。

它包含的交替太多，長連串又太少。

這是托馬斯·吉洛維奇、羅伯特·瓦洛內與阿莫斯·特沃斯基對一種序列的描述，這裡用中文轉述。那種序列被造得每一小段都像偶然。論文是 “The hot hand in basketball: On the misperception of random sequences”，《Cognitive Psychology》第 17 卷（1985），第 295–314 頁。一枚公平硬幣在長程裡一半是正面。人還希望短的一段也看起來一半對一半。這種局部均勻的序列，切換太勤，連串太少。真正的一串正面，於是看起來像一枚不公平的硬幣、一個手熱的投手，或一條被選中的街道。 同一習慣也作用在地圖上。平坦的偶然場落下的點，會留下空格和擠在一起的格。擠在一起的格子看起來像被挑過。代表性啟發談的是：人用樣本像不像心中的過程來下判斷。這一頁談的是，真正的一團配不上那幅“均勻”的圖，於是被安上一個原因。

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聚類錯覺的三層理解

• 入門：一串正面，或地圖上打成結的點，在短的偶然樣本裡很普通。先寫下記錄有多長，再給它起一個原因。
• 實踐：先固定方格、星期或規則，再去看。然後把空格和擠滿的格子，拿去和均勻比率會給出的計數比較。
• 進階：一團仍然可以是比率的真實變化。記錄很短時，即使每一次機會相同，緊跟三次成功之後的成功，也會落在基礎比率之下。更高的份額必須越過這條更低的線。先看見一團再去圈區域，回答的是另一個問題。

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起源

倫敦的地圖在 1946 年被計數。短序列的誤讀在 1985 年被測量。聚類錯覺這個名字，是吉洛維奇 1991 年給這一族誤讀用的標籤。 R. D. 克拉克是英國精算學會會士，任職於保誠保險公司。他的短文 “An application of the Poisson distribution” 刊在《Journal of the Institute of Actuaries》第 72 卷（1946），第 481 頁。他寫道，倫敦遭受飛行炸彈襲擊期間，常有人斷言落點聚成一團。飛行炸彈就是 V-1。他在倫敦南區 144 平方千米上檢驗這個說法。選這塊地方，是因為區域內的平均密度沒有實質變化。方格和卡方放在下面的案例裡。他的結論是，這種貼合給聚集假說提供不了支持。 心理學的部分是吉洛維奇、瓦洛內與特沃斯基（1985）。吉洛維奇在康乃爾大學。瓦洛內與特沃斯基在史丹佛大學。康乃爾文理學院的一項教師研究經費支持了吉洛維奇。美國海軍研究辦公室的資助號 NR 197-058 支持了特沃斯基。論文於 1985 年 3 月 15 日被接受。他們沒有印出這兩個英文詞組成的名字。他們稱這種模式為對偶然的誤解，後文又稱為一種認知錯覺。 他們把這個說明連到阿莫斯·特沃斯基與丹尼爾·卡尼曼的 “Belief in the law of small numbers”，《Psychological Bulletin》第 76 卷（1971），第 105–110 頁，以及 1974 年那篇關於不確定下判斷的論文。人期望偶然過程的特徵出現在每一個短片段裡，而不只出現在整條序列裡。吉洛維奇、瓦洛內與特沃斯基說，這個期望造成兩種錯誤。一種是賭徒謬誤：一串反面之後，下一次覺得該出正面。另一種是拒絕一條其實含有偶然會有的連串的序列，因為那些連串看起來太有秩序。第二種錯誤是這一頁。 吉洛維奇在《How We Know What Isn’t So: The Fallibility of Human Reason in Everyday Life》（The Free Press，1991）裡使用這個名字。這本書收進了籃球記錄，以及在隨機資料裡看見秩序的習慣。這裡把它當作命名來源。它不是對炸彈或投籃的一次新計數。

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核心要點

四次核對，把一團拴在產生它的那份記錄上。感覺到的連串、事先固定的網格、很短的序列，各自回答不同的問題。

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應用場景

用一個事先固定的視窗，用你預期的切換率，再用短連串本來就該越過的那條更低的線。每個印出來的數字都留在它自己的研究裡。

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經典案例

被計數的那幅圖，是一張飛行炸彈的地圖。先分格，再放到泊松律旁邊。 克拉克的短文只有一頁。他說這個例子來自一次實際調查。他沒有寫出客戶、軍事命令，或關於某幾條街的理論。他寫道，常有人斷言落點傾向於聚成一團。他對這個斷言做了統計檢驗。 區域是倫敦南區 144 平方千米。他選它，是因為那裡的理論平均密度非常接近常數。他把它分成 576 個方格，每格四分之一平方千米。在他考慮的那段時間裡，這些方格裡有 537 枚飛行炸彈。泊松均值是 537 除以 576。 方格的期望個數，和他點到的個數，對應如下。沒有炸彈：期望 226.74，點到 229。一枚：211.39 和 211。兩枚：98.54 和 93。三枚：30.62 和 35。四枚：7.14 和 7。五枚及以上：1.57 和 1。兩列各自加總都是 576。最後一行是一個被點到的方格。短文沒有印出那個方格裡有幾枚炸彈。

實際出現的這種貼合，給聚集假說提供不了支持。

這句話是克拉克的原文，這裡用中文轉述。他說，怎樣才算聚集：炸彈很多的方格或一枚也沒有的方格過多，中間那些等級又過少。比較的卡方是 1.17。他報告自由度為 4。得到這個值或更高值的概率是 .88。按他定義的那種聚集地圖，會產生大的卡方和小的概率。這個概率大，是因為偏差小。 教訓留在這個網格裡面。區域既已因為密度幾乎平坦而被選定，空格和擠在一起的格子就符合一個泊松場。眼睛挑出來的那些團，並不是這項檢驗要去發現的那種額外聚集。結果沒有碰到更寬的地圖。沿炸彈來路的一起一落，落在一塊為了密度恆定而選出的區域之外，是另一個問題。短文也沒有碰到“能不能瞄準”。它說的是，這個網格沒有支持人們斷言的那種額外聚集。

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邊界與失效場景

聚類錯覺在三個地方是錯誤的概括。風險的真實差別可以把事件堆起來。一份短的投籃記錄可以藏住比率的變化。這個名字也可以被用來打發掉邊界事先已經固定的一團。 第一條邊界是區域。克拉克的檢驗，從他選定一塊平均密度幾乎恆定的區域之後才開始。能夠支持聚集假說的模式，是這塊區域內部的額外成團。卡方 1.17 沒有支持它。同一頁沒有談論更寬城市上的梯度，也沒有談論他沒有畫出的方格。風險若真的逐塊改變，單一的泊松均值就是錯誤的模型，一團可以是訊號。這一頁的主張更窄。平坦的場本來看起來就一塊一塊的。 第二條邊界是籃球記錄。兩個方向都容易讀過頭。1985 年的論文沒有找到球迷所描述的那種幅度的正依賴。球迷把一個假設的 50% 投手放在投中之後 61%、投失之後 42%。76 人的加權平均是投中之後 51%、投失之後 54%，九名球員、48 場主場。序列相關有八人是負的。只有達瑞爾·道金斯與零有顯著差異，而且他的相關是負的。九人之間的配對比較與熱手預測相反。條件連串從一次投中長到三次時，檢驗是 t = −2.79、t = −3.14 和 t = −4.42。印出的概率是 p < .05、p < .05 和 p < .01。最近四次裡有三四次投中的熱視窗，加權平均是 50%。這四次裡零次或一次投中的冷視窗，是 57%。單場之內，超過兩段連串的 727 份球員記錄給出 t(726) < 1。七名場次夠多的球員，場與場之間變異的 Lexis 比率從道金斯的 0.56 到朱利葉斯·歐文的 1.03，平均 0.84。沒有一個顯著高於 1。一次非正式調查請 18 名休閒球員各舉五名聯盟裡的連串投手。只有兩人沒把安德魯·托尼列進去，一半回答者第一個就說他。他的連串沒有偏離偶然。電視記錄又加上紐約尼克斯七人、22 場，以及新澤西籃網七人、13 場。三支球隊 23 名主要球員裡，兩人的序列相關顯著。比爾·卡特賴特的是正的。道金斯的是負的。 一次 76 人訓練後的訪談，更接近球迷，而不是投籃圖。七名球員和教練參加。八人裡有六人說，連進幾球之後，他們有時知道下一球會進。五人贊成：兩三次投中之後的機會，好於兩三次投失之後。兩人不贊成這句話，一人沒有回答。八人裡有七人說，一串投中之後他們會多投。球員都說，球應該傳給剛剛連續投中幾次的人。五名球員和教練給了數字。這六人裡有五人把投中之後的百分比放得高於投失之後。和這些估計印在一起的均值是 62.5% 和 49.5%。 米勒與桑胡爾霍並不把 76 人的那個賽季當成他們的偏差所推翻的研究。他們說，比賽中的投籃是較差的檢驗，另有原因：防守可以對著剛剛得分的人收緊。他們校正的是康乃爾那次受控投籃。男隊校隊和二隊 14 人，女隊校隊 12 人，從接近 50% 的距離投。畫了兩條 15 英尺的弧，弧心在籃筐左右兩側向外 60 英寸。球員沿弧移動，連續兩球不從同一點出手。每人被要求投 100 球，每條弧 50 球，三人沒有投完。論文裡的平均命中率是 47%。投中之後的平均是 48%，投失之後的平均是 47%。26 人裡 14 人的序列相關為負。標成 9 號的一名球員有顯著的正相關。連串檢驗和對每四球一組的檢查，也把這名球員單獨指出來。四球的熱視窗和冷視窗平均是 46% 和 47%。一球、兩球、三球三種比較的配對檢驗，都被報告為 t < 1。 米勒與桑胡爾霍重印了那張表裡的三球兩列。球員在三次或更長的投中連串之後平均 49%，在三次或更長的投失連串之後平均 45%。平均差距是 +3 個百分點。他們把配對檢驗復現為 p = .49。零差距這條基線，在有限序列裡是錯誤的基線。按設計目標，100 球、命中率 50%，期望差距是 −8 個百分點。他們也把大家共用這個目標時的觀察平均寫成大約 +4 個百分點，它比 −8 的期望高出 +12 個百分點。他們報告為 p < .01 的檢驗，用的是每位球員自己的百分比。它把平均從 +3 移到 +13，標準誤 4.7 個百分點。一名球員沒有三次投中的連串，所以符號計數是 25 人裡 19 人朝熱手方向，二項檢驗 p < .01。這 25 人裡五人各自在 p < .05 上顯著，五人這個數目本身在二項檢驗裡 p < .01。從四次投中算起的連串，校正後的平均是 10 個百分點，p = .07，單尾，標準誤 6.9 個百分點。他們稱 +13 是保守的，因為在某些“熱的狀態是真的”的模型裡，往下的拉力更大。他們也說，連串檢驗、序列相關和只看前一球的比較，檢測那種狀態的功效不大。 +13 是這項任務上校正後差距的平均。作者把它放在 2015–16 賽季 NBA 三分球命中率的中位數與最好一名之間 12 個百分點的差距旁邊。比較來自他們在 2016 年 9 月 24 日查閱的一張 ESPN 表。那 12 個百分點是一把尺子。康乃爾的球員得到 2 美元底薪，再加減賭注。高注投中贏 5 美分，投失輸 4 美分。低注贏 2 美分或輸 1 美分。投手的注與這一球的平均相關是 .02。觀察者的是 .04。兩種注都跟著前一球走，投手 .40，觀察者 .42。26 個投手相關裡有五個顯著。四個又小又正，在 .20 到 .22 之間，一個是負的。 第三條邊界是誤用。你事先點名的區域裡，一團仍然可以超過偶然的計數。錯覺不是忽略這份超出的理由。在街道、星期或指標之間搜尋，只留下出現了那一團的地方，是另一種錯誤。它是看見彈孔之後才畫靶。虛假關聯把兩類事件配在一起，並高估這一對出現的次數。可得性啟發讓一段難忘的連串代表整份記錄。吉洛維奇、瓦洛內與特沃斯基把對長連串的記憶當成一種可能的附加，然後用攤在紙上的序列顯示出這種誤讀。記憶不是必需的。控制錯覺把偶然的結果變成個人技能。康乃爾的賭注就是這幅圖。投手和觀察者的一致是 .22，把前一球偏出去之後是 .05。

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常見誤區

三個捷徑跟著這個名字走。均勻的間隔被當成偶然的樣子。一篇籃球論文被當成“連串都是想像”的證明。另一種錯誤被當成這一頁的第二個名字。

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相關概念

聚類錯覺旁邊，是按相似來判斷的樣本、被預期會反轉的一串，以及彈孔之後才畫上的靶。旁邊還有難忘的一串、配成對的巧合，以及被讀成技能的偶然結果。

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一句話總結