聚类错觉

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什么是聚类错觉？

聚类错觉是一种习惯：小样本里出现一串或一团，人就把它当成背后另有原因。偶然本身就会产生这些团块。样本太短，均匀、充分打散的那幅图，并不是偶然应有的样子。

它包含的交替太多，长连串又太少。

这是托马斯·吉洛维奇、罗伯特·瓦洛内与阿莫斯·特沃斯基对一种序列的描述，这里用中文转述。那种序列被造得每一小段都像偶然。论文是 “The hot hand in basketball: On the misperception of random sequences”，《Cognitive Psychology》第 17 卷（1985），第 295–314 页。一枚公平硬币在长程里一半是正面。人还希望短的一段也看起来一半对一半。这种局部均匀的序列，切换太勤，连串太少。真正的一串正面，于是看起来像一枚不公平的硬币、一个手热的投手，或一条被选中的街道。 同一习惯也作用在地图上。平坦的偶然场落下的点，会留下空格和挤在一起的格。挤在一起的格子看起来像被挑过。代表性启发谈的是：人用样本像不像心中的过程来下判断。这一页谈的是，真正的一团配不上那幅“均匀”的图，于是被安上一个原因。

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聚类错觉的三层理解

• 入门：一串正面，或地图上打成结的点，在短的偶然样本里很普通。先写下记录有多长，再给它起一个原因。
• 实践：先固定方格、星期或规则，再去看。然后把空格和挤满的格子，拿去和均匀比率会给出的计数比较。
• 进阶：一团仍然可以是比率的真实变化。记录很短时，即使每一次机会相同，紧跟三次成功之后的成功，也会落在基础比率之下。更高的份额必须越过这条更低的线。先看见一团再去圈区域，回答的是另一个问题。

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起源

伦敦的地图在 1946 年被计数。短序列的误读在 1985 年被测量。聚类错觉这个名字，是吉洛维奇 1991 年给这一族误读用的标签。 R. D. 克拉克是英国精算学会会士，供职于保诚保险公司。他的短文 “An application of the Poisson distribution” 刊在《Journal of the Institute of Actuaries》第 72 卷（1946），第 481 页。他写道，伦敦遭受飞行炸弹袭击期间，常有人断言落点聚成一团。飞行炸弹就是 V-1。他在伦敦南区 144 平方公里上检验这个说法。选这块地方，是因为区域内的平均密度没有实质变化。方格和卡方放在下面的案例里。他的结论是，这种贴合给聚集假说提供不了支持。 心理学的部分是吉洛维奇、瓦洛内与特沃斯基（1985）。吉洛维奇在康奈尔大学。瓦洛内与特沃斯基在斯坦福大学。康奈尔文理学院的一项教师研究资助支持了吉洛维奇。美国海军研究办公室的资助号 NR 197-058 支持了特沃斯基。论文于 1985 年 3 月 15 日被接受。他们没有印出这两个英文词组成的名字。他们称这种模式为对偶然的误解，后文又称为一种认知错觉。 他们把这个说明系到阿莫斯·特沃斯基与丹尼尔·卡尼曼的 “Belief in the law of small numbers”，《Psychological Bulletin》第 76 卷（1971），第 105–110 页，以及 1974 年那篇关于不确定下判断的论文。人期望偶然过程的特征出现在每一个短片段里，而不只出现在整条序列里。吉洛维奇、瓦洛内与特沃斯基说，这个期望造成两种错误。一种是赌徒谬误：一串反面之后，下一次觉得该出正面。另一种是拒绝一条其实含有偶然会有的连串的序列，因为那些连串看起来太有秩序。第二种错误是这一页。 吉洛维奇在《How We Know What Isn’t So: The Fallibility of Human Reason in Everyday Life》（The Free Press，1991）里使用这个名字。这本书收进了篮球记录，以及在随机数据里看见秩序的习惯。这里把它当作命名来源。它不是对炸弹或投篮的一次新计数。

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核心要点

四次核对，把一团拴在产生它的那份记录上。感觉到的连串、事先固定的网格、很短的序列，各自回答不同的问题。

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应用场景

用一个事先固定的窗口，用你预期的切换率，再用短连串本来就该越过的那条更低的线。每个印出来的数字都留在它自己的研究里。

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经典案例

被计数的那幅图，是一张飞行炸弹的地图。先分格，再放到泊松律旁边。 克拉克的短文只有一页。他说这个例子来自一次实际调查。他没有写出客户、军事命令，或关于某几条街的理论。他写道，常有人断言落点倾向于聚成一团。他对这个断言做了统计检验。 区域是伦敦南区 144 平方公里。他选它，是因为那里的理论平均密度非常接近常数。他把它分成 576 个方格，每格四分之一平方公里。在他考虑的那段时间里，这些方格里有 537 枚飞行炸弹。泊松均值是 537 除以 576。 方格的期望个数，和他点到的个数，对应如下。没有炸弹：期望 226.74，点到 229。一枚：211.39 和 211。两枚：98.54 和 93。三枚：30.62 和 35。四枚：7.14 和 7。五枚及以上：1.57 和 1。两列各自加总都是 576。最后一行是一个被点到的方格。短文没有印出那个方格里有几枚炸弹。

实际出现的这种贴合，给聚集假说提供不了支持。

这句话是克拉克的原文，这里用中文转述。他说，怎样才算聚集：炸弹很多的方格或一枚也没有的方格过多，中间那些等级又过少。比较的卡方是 1.17。他报告自由度为 4。得到这个值或更高值的概率是 .88。按他定义的那种聚集地图，会产生大的卡方和小的概率。这个概率大，是因为偏差小。 教训留在这个网格里面。区域既已因为密度几乎平坦而被选定，空格和挤在一起的格子就符合一个泊松场。眼睛挑出来的那些团，并不是这项检验要去发现的那种额外聚集。结果没有碰到更宽的地图。沿炸弹来路的一起一落，落在一块为了密度恒定而选出的区域之外，是另一个问题。短文也没有碰到“能不能瞄准”。它说的是，这个网格没有支持人们断言的那种额外聚集。

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边界与失效场景

聚类错觉在三个地方是错误的概括。风险的真实差别可以把事件堆起来。一份短的投篮记录可以藏住比率的变化。这个名字也可以被用来打发掉边界事先已经固定的一团。 第一条边界是区域。克拉克的检验，从他选定一块平均密度几乎恒定的区域之后才开始。能够支持聚集假说的模式，是这块区域内部的额外成团。卡方 1.17 没有支持它。同一页没有谈论更宽城市上的梯度，也没有谈论他没有画出的方格。风险若真的逐块改变，单一的泊松均值就是错误的模型，一团可以是信号。这一页的主张更窄。平坦的场本来看起来就一块一块的。 第二条边界是篮球记录。两个方向都容易读过头。1985 年的论文没有找到球迷所描述的那种幅度的正依赖。球迷把一个假设的 50% 投手放在投中之后 61%、投失之后 42%。76 人的加权平均是投中之后 51%、投失之后 54%，九名球员、48 场主场。序列相关有八人是负的。只有达里尔·道金斯与零有显著差异，而且他的相关是负的。九人之间的配对比较与热手预测相反。条件连串从一次投中长到三次时，检验是 t = −2.79、t = −3.14 和 t = −4.42。印出的概率是 p < .05、p < .05 和 p < .01。最近四次里有三四次投中的热窗口，加权平均是 50%。这四次里零次或一次投中的冷窗口，是 57%。单场之内，超过两段连串的 727 份球员记录给出 t(726) < 1。七名场次够多的球员，场与场之间变异的 Lexis 比率从道金斯的 0.56 到朱利叶斯·欧文的 1.03，平均 0.84。没有一个显著高于 1。一次非正式调查请 18 名休闲球员各举五名联盟里的连串投手。只有两人没把安德鲁·托尼列进去，一半回答者第一个就说他。他的连串没有偏离偶然。电视记录又加上纽约尼克斯七人、22 场，以及新泽西网队七人、13 场。三支球队 23 名主要球员里，两人的序列相关显著。比尔·卡特赖特的是正的。道金斯的是负的。 一次 76 人训练后的访谈，更接近球迷，而不是投篮图。七名球员和教练参加。八人里有六人说，连进几球之后，他们有时知道下一球会进。五人赞成：两三次投中之后的机会，好于两三次投失之后。两人不赞成这句话，一人没有回答。八人里有七人说，一串投中之后他们会多投。球员都说，球应该传给刚刚连续投中几次的人。五名球员和教练给了数字。这六人里有五人把投中之后的百分比放得高于投失之后。和这些估计印在一起的均值是 62.5% 和 49.5%。 米勒与桑胡尔霍并不把 76 人的那个赛季当成他们的偏差所推翻的研究。他们说，比赛中的投篮是较差的检验，另有原因：防守可以对着刚刚得分的人收紧。他们校正的是康奈尔那次受控投篮。男队校队和二队 14 人，女队校队 12 人，从接近 50% 的距离投。画了两条 15 英尺的弧，弧心在篮筐左右两侧向外 60 英寸。球员沿弧移动，连续两球不从同一点出手。每人被要求投 100 球，每条弧 50 球，三人没有投完。论文里的平均命中率是 47%。投中之后的平均是 48%，投失之后的平均是 47%。26 人里 14 人的序列相关为负。标成 9 号的一名球员有显著的正相关。连串检验和对每四球一组的检查，也把这名球员单独指出来。四球的热窗口和冷窗口平均是 46% 和 47%。一球、两球、三球三种比较的配对检验，都被报告为 t < 1。 米勒与桑胡尔霍重印了那张表里的三球两列。球员在三次或更长的投中连串之后平均 49%，在三次或更长的投失连串之后平均 45%。平均差距是 +3 个百分点。他们把配对检验复现为 p = .49。零差距这条基线，在有限序列里是错误的基线。按设计目标，100 球、命中率 50%，期望差距是 −8 个百分点。他们也把大家共用这个目标时的观察平均写成大约 +4 个百分点，它比 −8 的期望高出 +12 个百分点。他们报告为 p < .01 的检验，用的是每位球员自己的百分比。它把平均从 +3 移到 +13，标准误 4.7 个百分点。一名球员没有三次投中的连串，所以符号计数是 25 人里 19 人朝热手方向，二项检验 p < .01。这 25 人里五人各自在 p < .05 上显著，五人这个数目本身在二项检验里 p < .01。从四次投中算起的连串，校正后的平均是 10 个百分点，p = .07，单尾，标准误 6.9 个百分点。他们称 +13 是保守的，因为在某些“热的状态是真的”的模型里，往下的拉力更大。他们也说，连串检验、序列相关和只看前一球的比较，检测那种状态的功效不大。 +13 是这项任务上校正后差距的平均。作者把它放在 2015–16 赛季 NBA 三分球命中率的中位数与最好一名之间 12 个百分点的差距旁边。比较来自他们在 2016 年 9 月 24 日查阅的一张 ESPN 表。那 12 个百分点是一把尺子。康奈尔的球员得到 2 美元底薪，再加减赌注。高注投中赢 5 美分，投失输 4 美分。低注赢 2 美分或输 1 美分。投手的注与这一球的平均相关是 .02。观察者的是 .04。两种注都跟着前一球走，投手 .40，观察者 .42。26 个投手相关里有五个显著。四个又小又正，在 .20 到 .22 之间，一个是负的。 第三条边界是误用。你事先点名的区域里，一团仍然可以超过偶然的计数。错觉不是忽略这份超出的理由。在街道、星期或指标之间搜索，只留下出现了那一团的地方，是另一种错误。它是看见弹孔之后才画靶。虚假关联把两类事件配在一起，并高估这一对出现的次数。可得性启发让一段难忘的连串代表整份记录。吉洛维奇、瓦洛内与特沃斯基把对长连串的记忆当成一种可能的附加，然后用摊在纸上的序列显示出这种误读。记忆不是必需的。控制错觉把偶然的结果变成个人技能。康奈尔的赌注就是这幅图。投手和观察者的一致是 .22，把前一球偏出去之后是 .05。

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常见误区

三个捷径跟着这个名字走。均匀的间隔被当成偶然的样子。一篇篮球论文被当成“连串都是想象”的证明。另一种错误被当成这一页的第二个名字。

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相关概念

聚类错觉旁边，是按相似来判断的样本、被预期会反转的一串，以及弹孔之后才画上的靶。旁边还有难忘的一串、配成对的巧合，以及被读成技能的偶然结果。

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一句话总结