演算法思維

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什麼是演算法思維？

演算法思維是一種習慣：把會重複的事，寫成另一個人能夠執行、也能夠核對的有限流程。

給定兩個彼此不互素的數，求它們的最大公度量。

這是希思（Thomas L. Heath）英譯歐幾里得《幾何原本》第七卷命題 2 的任務，這裡譯成中文。原書沒有使用 algorithm 這個詞。「彼此不互素」對應的是後來教科書裡的「不互素」。這條命題仍然點明了輸入、動作的順序，以及停止的地方。 日常的畫面是貼在共用冰箱上的食譜卡。「看到合適了就停」要下一個人去猜。「小火十二分鐘，然後停」不用猜。分析思維 說明問題的各部分怎樣互相依賴。它本身並不把一個會停止的流程交給下一個人。演繹推理 問的是：前提為真時，結論是否必然跟著成立。本站的演繹推理頁用《幾何原本》談的是那種鏈條。流程裡的某一步可以是一次演繹。這裡的習慣是整條流程，包括它在哪裡停。 計算思維 是更大的一套。2011 年，ISTE 與電腦科學教師協會把演算法思維放進那一套裡，稱作「一系列有序步驟」。本頁就是這一系列。滿意化思維 在選項跨過一條標準時停下來。那也是一條停止規則。它並不要求步驟明確到第二個人會走到同一個選項，並且能夠核對。 一個人無法查看其步驟的機器學習模型，是另一件東西。高德納的可執行性檢驗是鉛筆和紙。下一個人做不了這一步，流程就還沒寫完。

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演算法思維的三層理解

• 入門：線索是一件你會重複的事。寫下輸入、按順序排列的步驟，以及停止處。如果第二個人還得問你是什麼意思，這一步就還不明確。
• 實踐：讓另一個人用一個普通例子和一個棘手的例子各跑一遍。兩遍結果分叉的地方，就重寫那一步。卡片上加一個代號，並不算完成這次核對。
• 進階：在你要覆蓋的例子上從不改變輸出的那一步，核對之後可以刪掉。一條可能永遠不停的流程，在高德納的意義上不是演算法。某一群人身上很高的敏感度，並不是一張許可證，不能把步驟用到推導時排除在外的人身上。

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起源

把會停止的流程寫下來，這個習慣比英文裡的那個詞更早。詞本身、高德納的五項特徵，以及學校裡的名稱，都來得更晚。它們指的範圍並不相同。 《幾何原本》第七卷命題 2，求兩個不互素的數的最大公度量。如果較小數能量盡較大數，它就是最大公度量。如果不能，就把較小數從較大數裡一次次減去，直到剩下一個能量盡前一個數的數。命題 1 是相鄰的情形。如果這個過程剩下一個單位，這兩個數就互素。Britannica 把《幾何原本》定在約西元前 300 年。那是這本書通常的年代，不是一份簽了日期的手稿。命題用的是反覆相減。後來的教學常常把一串減法換成一次除法的餘數。這個捷徑是等價的。它不是第七卷的措辭。高德納把後來的形式叫做歐幾里得演算法。那個名字是他用來舉例的演算法。它不是歐幾里得書裡的詞。 algorithm 這個詞來自一個名字，不是來自歐幾里得。穆罕默德·伊本·穆薩·花拉子米（al-Khwarizmi）九世紀在巴格達工作，在智慧宮，當時的統治者是馬蒙（al-Ma’mun）。Britannica 把兩本書分開。《Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr waʾl-muqābala》是代數書。algebra 這個詞來自書名。另一本講印度數字計算的算術書，以拉丁文本留下來，題為 Algoritmi de numero Indorum（「花拉子米論印度演算法」）。algorithm 來自這個標題裡的拉丁化名字 Algoritmi。這本算術的阿拉伯文原本沒有留存。MacTutor 數學史指出，已知拉丁文本改動很大，阿拉伯文原題也不為人知。本頁不把他寫成流程的發明者。第七卷更早。他是這個詞的名字來源，也是系統計算的作者。 高德納（Donald Knuth）在《The Art of Computer Programming》第 1 卷《Fundamental Algorithms》（Addison-Wesley，1968）第 1.1 節寫下五項特徵。有限：流程在有限步之後停止。明確：每一步把動作規定到每一種情形都沒有歧義。輸入：零個或多個量，取自寫明的集合。輸出：一個或多個量，與輸入有寫明的關係。可執行：每個操作都基本到一個人用鉛筆和紙，可以在有限時間裡精確做完。在那一節裡，一條可能永遠不停的流程是 computational method，不是演算法。他是在命名特徵。他不是在報告這個習慣的一次試驗。 Gerald Futschek 2006 年在維也納工業大學寫了學校裡的這個名稱。章節收在《Lecture Notes in Computer Science》第 4226 卷，第 159–168 頁。他說這個詞當時已經常被用來指資訊學教育裡的一種能力。他沒有把自己寫成造詞的人。他描述的是一組能力：分析問題並把它寫精確；找到合適的基本動作，並用這些動作造出正確的演算法；把特殊情形和通常情形都想過，然後再提高效率。他認為這些能力可以在不學寫程式的情況下培養。那門大學預科課裡的圖，是為了讓正確性、終止、效率、確定性與並行變得看得見。那是一門課的教學目標。它們不是一項測到的增益。 2011 年，國際教育技術協會（ISTE）與電腦科學教師協會發表了一份面向 K–12 的計算思維操作定義。他們報告說，近 700 名電腦科學教師、研究者和實踐者接受了調查，並且壓倒性地支持這份文本。清單上的一行是：「透過演算法思維把解法自動化（一系列有序步驟）。」定義說，計算思維包括這份清單，並且不限於它。在本站，計算思維是更大的一套。演算法思維是那套有序的流程。

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核心要點

當一個當時不在場的人可能得把這件事再做一遍時，演算法思維用得上。某一步仍然要靠你私下的判斷，或者流程沒有停止處，它就會停住。

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應用場景

當別人可能重複這件事，而你需要一個能夠核對的結果時，使用演算法思維。寫下輸入、明確的步驟和停止處。然後讓第二個人試那個棘手的例子。

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經典案例

渥太華踝關節規則（Ottawa ankle rules）是為一個急診決定寫下的流程。這個成年人、這次踝關節急性受傷，需不需要拍片？Ian Stiell 與渥太華的同事寫出規則，然後試驗其他醫師被要求使用它們時發生了什麼。這些試驗測量的是急診部門裡的這次引入。它們不測量廚房、教室，或一個下午對著空白卡片養成的習慣。 Stiell 與同事在 1993 年 3 月 3 日的《JAMA》（第 269 卷，第 1127–1132 頁）報告了精煉後的規則。只有踝區有疼痛，並且下列三項裡至少有一項，才做踝部 X 光系列。一項是腓骨後緣遠端 6 cm 或外踝尖的骨壓痛。另一項是脛骨上同樣的壓痛，沿後緣或在內踝尖。第三項是受傷當時和在急診部門都不能負重走四步。足部系列改用中足區。第五蹠骨基底骨壓痛、舟骨骨壓痛，或同樣的四步失敗，才做足部系列。四步是指每條腿各轉移兩次體重。跛行也算。論文說，先判斷骨壓痛，再讓人走，並且絕不強迫。 那次精煉排除了好幾組人。它排除 18 歲以下、懷孕，以及單純的皮膚損傷。它也排除已經帶著片子轉來的人、受傷超過 10 天，以及同一次受傷的覆診。論文說，更早的一條年齡標準，以及一條骰骨壓痛標準，是多餘的。那次精煉裡有臨床意義的骨折，沒有它們也能識別出來。 同一篇論文有兩個階段，結果不是同一個。第一階段，原始規則對 121 例踝區骨折的敏感度是 1.0，95% 信賴區間從 0.97 到 1.0。對 49 例中足區骨折，敏感度是 0.98，區間從 0.88 到 1.0。116 名病人上對規則的解讀仍在第一階段，踝部系列的 kappa 是 0.56，足部系列是 0.69。兩位讀者並不總是標出同一個結果。這不是後來醫院裡精煉規則的一致程度。第二階段，精煉後的規則對 50 例踝區骨折的敏感度是 1.0，區間從 0.93 到 1.0。對 19 例中足區骨折，敏感度也是 1.0，區間從 0.83 到 1.0。論文的結論把精煉後的規則稱為 100% 敏感。這個說法跟著的是 1.0 的點估計。區間比一個單點更寬。論文還估計，踝部系列的拍片有可能減少 34%，足部系列有可能減少 30%。如果規則為陰性，它把骨折機率估計為 0%。踝部系列的區間從 0% 到 0.8%，足部系列從 0% 到 0.4%。這 34% 和 30% 是驗證樣本裡的潛在降幅。它們不是後來試驗的結果。 1994 年 3 月 16 日的《JAMA》（第 271 卷，第 827–832 頁）把規則帶進兩家醫院。設計不是隨機的。它使用前後兩個時期，以及一家同期的對照醫院。前後各五個月裡，共有 2,342 名踝關節急性受傷的成年人。實施醫院的踝部拍片相對減少 28%，對照醫院增加 2%。實施醫院的足部拍片相對減少 14%，對照醫院增加 13%。在實施醫院的後一時期，沒有骨折的病人裡，未拍片就離開的人在部門待了 80 分鐘，拍了片的人待了 116 分鐘。論文估計的醫療總費用，含醫師看診和拍片，是 $62 對$173。對急診醫師照護的滿意度是 95% 對 96%。這兩組後來再拍片的比例都是 5%。74 例踝部骨折的敏感度是 1.0（區間 0.95 到 1.0），19 例中足骨折也是 1.0（區間 0.82 到 1.0）。隨後 12 個月，實施醫院的拍片用量沒有回升。分鐘之差和金額之差比較的是後一時期裡的兩組人。它們不是整個部門的前後對比。論文沒有寫明這些金額用的是哪一種貨幣。 範圍更大的試驗是 Stiell、George Wells、Andreas Laupacis 與同事，發表於 1995 年 9 月 2 日的《BMJ》（第 311 卷，第 594 頁）。這是一項多中心的前後比較試驗，在加拿大八家教學醫院和社區醫院的急診部門進行。這些社區的人口從 1 萬到 300 萬。全部 12,777 名踝關節急性受傷的成年人都包括在內：對照期 6,288 人，實施期 6,489 人。對照期是 1991 年 5 月 1 日到 1992 年 4 月 30 日。實施期是 1993 年 1 月 1 日到 12 月 31 日。兩個時期不是連在一起的連續兩年。200 多名醫師透過一小時講課學習規則，另有講義、口袋卡片，以及每個部門兩張海報。某一個病人拍不拍片，仍由接診醫師決定。分析保留每一名合格病人，不論那位醫師有沒有填表，也不論有沒有遵守規則。論文把有臨床重要性的骨折定義為寬度大於 3 mm。 對照期有 82.8% 的病人接受踝部拍片（6,288 人中的 5,207 人），實施期是 60.9%（6,489 人中的 3,955 人）。論文把這個變化稱為相對減少 26.4%，P 小於 0.001。這一比例在全部八家醫院都下降，也在預先劃定的亞組裡下降：社區醫院、教學醫院、急診醫師、家庭醫師和住院醫師。足部拍片並沒有一起動。三家醫院有顯著減少。五家沒有顯著變化。實施期裡，完全沒有拍片的病人更多（21.7% 對 8.4%），踝部與足部兩個系列都拍的更少（9.2% 對 21.8%）。 時間和帳單是實施期內部的比較。它們不是部門的前後對比。沒有骨折、也沒有拍片的病人，在部門的平均時間是 54.0 分鐘，標準差 42.0。拍了片的人是 86.9 分鐘，標準差 46.9。電話追蹤到的病人，平均總費用是 70.20 美元（標準差 52.1）對 161.60 美元（標準差 71.2），按 1993 年美元計算。這些費用涵蓋的是這一追蹤子集的急診與後續就診，以及 X 光系列。它們不是一個衛生體系被測到的節省。作者的結論說，這次引入帶來了更短的等待和更低的費用。印出來的比較並沒有給出部門平均等待時間或預算在前後的數字。 漏診骨折也要用同樣的方式看待分母。論文說，對照期沒有漏診骨折的資料。實施期的追蹤裡，2,033 人中有 10 人出院後被診斷出骨折，且沒有新的受傷。拍過片的 732 人裡有 3 人在這 10 人之中（0.4%）。沒有拍片的 1,301 人裡有 7 人在這 10 人之中（0.5%）。摘要裡的「0.5 對 0.4」就是這個比較。它不是對照期比率對實施期比率。結果部分說，這 7 人裡只有 1 人是正確應用了規則。討論部分指向同一張表，說未拍片這一組的漏診來自沒有使用規則或讀錯了規則，另有 1 例來自明顯腫脹。全部 10 人在六個月時都已癒合，沒有延遲，也沒有長期影響。沒有人提起訴訟。另一個計數發生在出院之前：1,090 例重要骨折裡有 6 例，規則被讀成陰性。這 6 例裡，醫師出於別的理由開了片子，主要是明顯腫脹。陰性解讀在這 6 例裡不是最後一句。 論文還印了兩個相鄰的人數，本頁不把它們合成一個。它說電話樣本 2,171 人中聯繫上了 2,032 人（93.6%）。骨折那一句用的分母是 2,033。兩個數字都是論文裡的。它們不是一個四捨五入後的計數。 表格方面，醫師為 6,489 名實施期病人中的 77.1% 填了研究表（5,003 人）。論文接著報告，踝部病例的準確解讀是 97.1%，足部是 97.6%；踝部的滿意遵從是 95.3%，足部是 95.0%。那一句沒有再次寫明分母。規則判定為不必要的拍片仍然發生在 4.9% 的病例裡，其中 0.5% 是因為病人堅持。醫師說自己在 3.8% 的病例裡對使用規則感到不安。討論點名了常見的讀法錯誤：忽略內踝壓痛，或者沒有把腓骨後緣遠端 6 cm 全部觸診到。有些骨折在尖端上方 5 或 6 cm 處穿出骨質。 Bachmann 與同事在 2003 年 2 月 22 日的《BMJ》（第 326 卷，第 417 頁）綜述了同一套規則。他們納入 32 項研究，統合分析使用其中報告了 15,581 名病人的 27 項。合併後的陰性概似比，踝部是 0.08（區間 0.03 到 0.18），中足是 0.08（0.03 到 0.20）。兒童的兩個部位合併後是 0.07（0.03 到 0.18）。綜述說敏感度幾乎是 100%，特異度不高，使用後應當把不必要的拍片減少 30% 到 40%。綜述內部，報告的敏感度從傷後 48 小時內應用規則的研究中的 99.6%，到合併評估研究中的 96.4%。「應當減少」是綜述對使用效果的結論。它不是 1995 年試驗裡 26.4% 的相對減少，也不是 1994 年那家醫院 28% 的相對減少。統計思維 要讓點估計、區間、相對減少和概似比不要收成一個數字。 教訓很窄。一套寫下了部位、數得清的行走和停止處的流程，可以教給沒有參與撰寫的醫師。在這些試驗裡，踝部拍片下降了。1995 年的論文並沒有顯示，未拍片回家的人後來骨折的比率高於拍了片的人。同一份記錄也顯示流程的限度。1993 年讀者並不總是一致。1995 年八家醫院裡有五家的足部片子沒有下降。6 例重要骨折出現在卡片被讀成陰性的時候。1 例後來的骨折跟在一次正確的「不拍片」之後。系統思維 還會把卡片外面的東西算進去：那一小時的教學、海報，以及醫師仍然可以下令拍片。這些試驗沒有給出這個習慣在一般情況下的效應。

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邊界與失效場景

演算法思維在三處失效。任務可能沒有能夠核對的輸出。步驟可能被用到它們所寫明的輸入之外。或者某項研究的百分比被當成了這個習慣本身的屬性。 第一條邊界是穩不住的任務。第七卷假定兩個數和一種量盡。踝關節規則假定一次在名單之內的急性受傷。第一次談話、一場道德衝突，或者一個對不上輸入的案例，都還沒有流程。為了讓卡片存在而寫下步驟，並不會造出一個能夠核對的輸出。計算思維仍可以幫助你把一團亂分開。這個習慣從你能夠寫下輸入和停止處的時候開始。 第二條邊界是規則留在外面的人。1993 年的精煉排除了兒童、懷孕、單純皮膚損傷、別處已經拍過的片子、超過十天的受傷，以及覆診。1995 年的試驗納入的是成年人。它的討論另列了一張單子，作者說這些情況下評估可能不可靠：意識改變、醉酒、另有疼痛的損傷、腿部感覺減退，或語言障礙。它也提到明顯腫脹會讓後緣無法觸診。Bachmann 的綜述把一個兒童亞組合在一起，陰性概似比是 0.07。那一行說的是進入彙總的那些研究裡的規則。它不是一項發現，說成人卡片可以不經另一次核對就抄到每一個孩子身上。流程只在它寫明的輸入之內才是明確的。 常見的誤用，是把百分比當成這個習慣的證明。不要把 26.4%、28%、34% 或 30% 引成演算法思維、一次工作坊或一張家庭卡片的效應。1993 年的數字是驗證樣本裡的潛在降幅。1994 年的數字是相對一家同期醫院的相對變化，設計並非隨機。1995 年的數字是兩個隔開的年份之間的相對變化，發生在講課和海報之後，醫師仍然可以自由下令拍片。不要把 54 分鐘對 87 分鐘，或 70.20 美元對 161.60 美元，引成一個部門的前後對比。那些差距在實施期內部，比較的是沒有骨折的病人裡拍了片和沒拍片的人。不要把討論裡約成「大約 90 美元」的差距，或它說這八家醫院若減少 25% 就會節省可觀費用的那句話，當成另一次測量。不要把 1.0 的敏感度引成保證。1993 年第一階段對 49 例中足骨折是 0.98。1994 年中足的區間在 19 例骨折上從 0.82 到 1.0。Bachmann 的合併評估數字是 96.4%。不要把綜述的 30% 到 40% 引成那些試驗測到的降幅。

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常見誤區

有三種混淆會跟著這個名字走。這個習慣會被誤認為寫程式，被誤認為那套更寬的計算思維，也被誤認為一條敏感的規則走到哪裡都成立。

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相關概念

演算法思維旁邊，是把事物拆開、推出必然結論，或因別的理由停下來的習慣。下面的連結是鄰居。它們不是這套流程的別名。

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一句話總結