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# モンティ・ホール問題

> モンティ・ホール問題は、ドアを乗り換えると勝率が1/3から2/3に上がる理由を示します。条件付き確率の構造と実務的な意思決定の教訓を解説します。

<Info>
  **カテゴリ**: パラドックス<br />
  **タイプ**: 論理・確率のパラドックス<br />
  **起源**: TV番組 Let's Make a Deal に由来。Steve Selvin（1975）の統計議論、Marilyn vos Savant（1990）のコラムで広く認知<br />
  **別名**: 三つのドア問題
</Info>

<Note>
  **先に答えると** — **モンティ・ホール問題**（Monty Hall Problem）では、司会者がハズレのドアを1つ開けた後は乗り換えるべきです。乗り換えの勝率は 2/3、据え置きは 1/3 で、理由は司会者の行動がランダムではなく制約付き情報だからです。
</Note>

## モンティ・ホール問題とは？

**モンティ・ホール問題**（Monty Hall Problem）は、賞品位置を知る司会者がハズレを1つ公開した後、最初の選択を変えるべきかを問う確率問題です。

> 重要なのは「2択になった見た目」ではなく「どんなルールで情報が公開されたか」です。

多くの人は 50:50 と感じますが、これは条件付き情報を無視した直感です。この問題は [ベイズ思考](/ja/thinking/bayesian-thinking)、[期待値](/ja/models/expected-value)、[シンプソンのパラドックス](/ja/paradoxes/simpsons-paradox) と同じく、情報生成過程の理解を求めます。

### モンティ・ホール問題の3段階の理解

* **入門**: 最初の当たり確率は 1/3 のままで、乗り換え側が 2/3 を持つ。
* **実践**: 選択肢の数より、公開ルールの制約をモデル化する。
* **上級**: 多ドア拡張、シミュレーション、ベイズ更新で同じ結論に収束する。

## 起源

問題のモチーフは米国のゲーム番組 Let's Make a Deal（司会 Monty Hall）です。

数理的議論は 1975 年の統計誌投稿で整理され、1990 年に Marilyn vos Savant がコラムで「乗り換え有利」を示したことで世界的議論になりました。

以後、多数の証明と計算機実験が、標準ルール下で乗り換え勝率 2/3 を一貫して確認しています。

## 要点

この問題は引っかけではなく、条件付き確率の基礎訓練です。

<Steps>
  <Step title="初期確率は自動でリセットされない">
    最初の選択が当たりである確率 1/3 は、司会者の規則行動だけでは 1/2 になりません。
  </Step>

  <Step title="司会者の行動には制約がある">
    司会者は当たりドアを開けず、あなたの選択も開けないため、その行動自体が情報です。
  </Step>

  <Step title="乗り換えは補集合に賭ける戦略">
    「最初の選択が外れ」という 2/3 の事象を取りに行くため、長期勝率が 2/3 になります。
  </Step>

  <Step title="シミュレーションで直感を補正できる">
    試行回数を増やすと、乗り換え約 66.7%、据え置き約 33.3% に安定します。
  </Step>
</Steps>

## 応用場面

情報公開がランダムでない意思決定に広く応用できます。

<CardGroup cols={2}>
  <Card title="プロダクト実験">
    データの見え方は抽出ルールに依存するため、最終値だけで判断しない設計が必要です。
  </Card>

  <Card title="不正検知・セキュリティ調査">
    攻撃者が何を隠し、何を見せるかという制約付き行動を手掛かりに更新します。
  </Card>

  <Card title="交渉・入札">
    相手の開示情報は戦略制約の産物であり、中立サンプルとは限りません。
  </Card>

  <Card title="意思決定教育">
    条件付き確率を短時間で体感的に学べる教材として有効です。
  </Card>
</CardGroup>

## 事例

1990 年の *Parade* 論争では、読者から大量の反論が寄せられ、「開いた後は 50:50」という主張が広がりました。これは統計直感のズレが社会的に可視化された代表例です。

測定可能な証拠は反復シミュレーションです。大規模試行では乗り換え勝率が約 66.7%、据え置きが約 33.3% に収束します。教育水準が高くても、情報構造を誤解すると確率判断を誤ることが示されました。

## 限界と失敗パターン

2/3 という数値は前提条件付きです。

* **司会者ルールが異なる**: 当たりを開く可能性がある場合は結果が変わる。
* **公開手順が不明**: 規則が分からない状況で標準解をそのまま適用できない。
* **過剰一般化**: 新情報があるだけでモンティ・ホール型になるわけではない。

## よくある誤解

見た目の対称性だけで判断すると誤ります。

<AccordionGroup>
  <Accordion title="誤解：2枚残れば必ず50:50">
    **訂正**: 残数が同じでも、公開ルールが非対称なら確率も非対称です。
  </Accordion>

  <Accordion title="誤解：乗り換えは気分の問題">
    **訂正**: 乗り換えは「最初に外す 2/3」を取りに行く統計的優位戦略です。
  </Accordion>

  <Accordion title="誤解：司会者の行動には情報がない">
    **訂正**: 司会者が制約下で選んだ行動こそ追加情報の本体です。
  </Accordion>
</AccordionGroup>

## 関連概念

条件付き情報を扱う他概念と組み合わせると理解が深まります。

<CardGroup cols={3}>
  <Card title="ベイズ思考" href="/ja/thinking/bayesian-thinking">
    既知ルールのもとで新証拠に応じて信念を更新します。
  </Card>

  <Card title="期待値" href="/ja/models/expected-value">
    戦略差を長期平均の利得として比較できます。
  </Card>

  <Card title="シンプソンのパラドックス" href="/ja/paradoxes/simpsons-paradox">
    条件を無視した集計が判断を逆転させる例を示します。
  </Card>
</CardGroup>

## 一言で言うと

<Tip>モンティ・ホール問題は、見た目の選択肢数ではなく情報公開ルールを読むことが、正しい意思決定の鍵だと示します。</Tip>